浅谈高中数学概念的教学方法

1　多角度剖析高中数学的定义

学习一个定义, 教师应指导学生养成剖析定义的习惯, 要引导学生认真阅读课本,逐字逐句推敲,结合定义的形成过程,明确定义的本质属性。

1. 1　从图形、文字叙述、数学式子剖析定义

以立体几何“二面角的平面角”的教学为例,对该定义可从“图形画出” 、 “文字叙述” 、 “式子表示”三个方面进行教学, 只有理解并熟习三个角度表达,才能完整全面认识这个定义,同时还要从二面角的平面角入手,进一步剖析。可以发现: ( 1) 在二面角α -l-β 的棱上取一点O, O 的位置可以是任意的; ( 2) 由等角定理要知平面角的大小与点O 的位置无关,是二面角大小本身确定; ( 3) 二面角的棱 l垂直于平面角确定的平面。

1. 2　从位置、数量的大小关系剖析定义如椭圆方程 x2/a2 +y2/b2 =1这一类的定义, 在教学过程中, 应引导学生从中心定在坐标原点, 焦点定在 x轴上的椭圆; 标准方程x2/a2 +y2/b2 =1 中的两个分母一定有a2>b2; a 、b 、c三者的关系c2=a2-b2等三个角度去剖析椭圆的标准方程定义。 使学生能较好理解焦点在 x 轴上和焦点在y 轴上的两类椭圆标准方程的特征, 在解已知椭圆的几何条件求椭圆标准方程时, 用待定系数法求方程时, 就明确标准方程的形式了。

加强定义多方位认知,由表及里剖析,能激发学生的学习兴趣,使学生积极主动地去思考得出概念的过程,这样,既有利于学生掌握定义的本质,又能较好地发展学生的逻辑思维、发散思维能力,提高分析问题和解决问题的能力。

对于一个定义教学, 不仅要求学生掌握其本身的内涵, 还要引导学生从定义本身出发,掌握必要的一些性质,也就是拓展定义的外延。

2. 1　明确属性

在高一学习的“函数” 这个概念时,是建立在映射知识的基础上给出的。 其中, 要学生明确函数的定义域、值域、对应法则、相应函数图像都应该说是“函数” 这个概念的基本属性,是映射概念里本身已具备,因此是“函数” 本身固有的, 这样在导论中学阶段的五种基本函数(即幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数) 时, 可以从这些函数的定义出发, 强化这些函数的定义域、值域、对应法则、相应函数图像。 例如,判断在实数集与实数集之间, 式子y =x2x能构成函数吗?事实上,当 x =0时,没有确定的y 值与之对应,这与映射定义里 x取“任何值”,通过对应法则, y有“唯一确定”的值与之对应显然不符。 所以式子y =x2x不能构成从实数集到实数集的函数。 给学生讨论这样的问题,就能使学生深刻地领会函数这个定义的本质属性。

2. 2　扩展外延

从函数固有的基本属性还要展开讨论函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质, 引导学生扩展这些性质有助于学生对函数这一概念的深入理解,这样学生比较容易理解和接受函数这一概念,这对培养学生严谨的数

学思维是有好处的。 例如在“反函数” 这个定义的教学中, 可以从复习一对一的映射入手,结合具体函数讲清反函数的概念,明确反函数定义域、值域、对应法则及其图像,接着可以进一步延伸,引导学生探索: ( 1) 函数 y =

f ( x ) 及反函数 y =f- 1( x ) 的定义域与值域的互逆关系; ( 2) 函数y =f ( x ) 及反函数 y =f- 1( x ) 的图像关于直线y =x 对称关系; ( 3) 函数y =f ( x ) 及反函数y =f- 1( x ) 同为增函数或同为减函数的关系; ( 4) 函数

y =f ( x )是奇函数,则反函数y =f- 1( x )也是奇函数; 函数y =f ( x ) 是非奇非偶函数,则反函数y =f- 1( x )也是非奇非偶函数; ( 5) 只有一对一的函数或单调区间上的函数才存在反函数。 通过对定义的外延的拓展, 把定义和它的基本性质有机地结合起来, 对学生思考、分析、解答与定义有关的问题,显然是大有帮助的。

凡是定义都应看作命题来理解,利用命题的各种关系来帮助理解、分析定义, 有助于培养学生逻辑思维能力,在解题中准确、清晰、有条理地进行表述。

3. 1　强化逆向分析

大多定义都是充要命题, 但大多数学生在学习定义时, 往往只注意定义的充分性, 而对定义的必要性重视不够,因而常常在应用定义解题时,思路闭塞,逻辑混乱。 教师在教学过程中, 应有意识地培养学生逆向思维活动的能力,强化定义的逆向分析。 如已知关于 x 的方程x2-( 6 +i ) x +ai =0( a ∈ R ) 有实根b,求 a 与b 的值。 解答时,利用“方程的根的概念”,因为b是方程的根,则b满足方程,用b 代入等式整理, 得到复数等于0, 再次利用“复数相等的概念”, 可列出实部也等于0且虚部也等于0的方程组求得a 与b 的值。 这道题目的教学, 两次引导学生利用定义的必要性,这对培养学生逆向思维能力,提高整体的思维品质是大有好处的。

3. 2　强化否定分析

对定义教学仅重视到定义的充要关系还是不够的, 2000 年全国高考数学试题第 19 题: 设函数 f ( x ) =x2+1 -ax , 其中, a >0。 求a 的取值范围,使函数 f ( x ) 在区间[ 0, +∞) 上是单调函数。 本题用(严格) 单调函数的定义推理, 设0