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经济学是当下大学中最热门的专业之一，每年不仅吸引无数高考学子报考，考研时也让不少本科生趋之若鹜，而对于国外高校亦是如此。很多人在对选专业一片迷茫的情况下，往往就随大流填了经济学或商科。
很多学子很关心的一个问题就是：经济学专业对数学的要求高不高？笔者也经常收到这样的询问。
一句话总结：经济学归根结底是研究“钱”的。而钱又需要用数量来衡量，但凡涉及到数量，那么数学工具也就离不开了。因此，经济学对数学的要求一定是很高的。不过这个问题也不能一概而论，经济学也分为不同的类型和研究方向，开设经济学的学校也有好坏之分，本文就来详细论述一下这个问题。
按照类型来看
经济学专业设置主要分为理论经济学与应用经济学两个大方向，相比较而言，理论经济学对数学的要求较高，应用经济学则较低。在大学中也是分成这两个大类来进行教学的。
大学中的数学课程按照难度一般分为几个档次。
第一档：数学系的专业数学
数学系的学生需要学习数学分析，高等代数，实变函数，复变函数，抽象代数，微分方程，泛函分析等等一系列非常艰深的专业课程。这些课程的难度远远高于大家所常说的高等数学，线性代数，它注重原理与证明，是真正的数学。
第二档：物理化学等非数学的理科专业
这些专业对数学的要求也很高，有的达到几乎和数学系相同的水平，同时还会开设一些物理化学中所着重用到的数学课程，比如群论。
第三档：工科专业
这个是大部分大学生会学的数学，指的就是我们通常所说的三大门：高等数学，线性代数，概率论与数理统计。这些数学是工科学生所必须掌握的，但是难度要小于数学专业，不注重原理与证明，而更多地偏向于计算。
第四档：经管类数学
该数学是给管理学、商学等专业的学生开设的，内容基本也是三大门：高等数学，线性代数，概率论与数理统计，但是内容进一步缩减，难度进一步降低。删掉了很多理论性的知识。
第五档：文科数学
这是难度最低的一档，给一些所谓的纯文科，比如政治学、法学等专业开设的，基本上就属于科普性质了。只对高等数学，线性代数，概率论与数理统计中一些基本的概念做一个简要的介绍。
而经济学专业则比较复杂，上文已经说过，经济学分为对数学的要求高和低两个大的类型。
对数学要求低的类型，基本上只掌握到第四档就够了，最常用的就是微积分中的一些基本的概念与方法，比如求导与积分，求函数极值，求偏导数，线性代数中关于矩阵的一些运算等等内容。总体来看，对数学的要求不高。
而研究纯理论的经济学，对数学的要求就非常高了，在某些地方甚至达到了与数学系相当的水平。
那么理论经济学需要哪些数学知识呢？下面来介绍一下。
经济学的主干课程也是三大门：微观经济学，宏观经济学，计量经济学。每一门又按照难度分为初级，中级和高级三个等级。
三个等级在内容上差别不是很大，最主要的差别体现在对数学的要求上，等级越高对数学的要求也就越高，对数学工具的使用也就越多，对数学理论与经济学意义的理解也就越深刻。或者用更通俗的话讲就是：等级越高，书上的数学公式就越多。
而到了高级阶段，里面很多数学知识是只有数学专业的学生才会学的到，由此可见理论经济学对数学的要求之高。
比如在研究消费者理论时，要用到最基础的序关系理论，同时要求对多元函数求偏导，以及隐函数求导等各种理论非常熟悉。
再比如各种各样的优化理论，比如等式约束中的拉格朗日乘法(Lagrange Multipliers)以及不等式约束中的库恩-塔克(Kuhn-Tucker)条件。
在价格理论和均衡理论中，要求精通矩阵分析。
经济增长理论中需要使用动态最优化方法，这又分成连续性和离散型两种。连续型的需要使用哈密尔顿方程(Hamilton eqution)，这已经属于数学中的分支——变分学了，而这里面又涉及到大量的微分方程的知识。离散型的又需要使用佩尔曼方程(Pellman equation)。
更复杂的则需要使用随机微分方程。
而计量经济学中又需要掌握深刻的概率论，随机过程，时间序列分析等方面的知识，以及对矩阵运算的要求也非常高。
总体来看，高级的经济学研究需要的数学知识纵跨了数学分析，实分析，拓扑学，集合论，矩阵论，微分方程，变分法，随机过程，随机分析等多个领域。这些都是非常专业的数学知识了，而且随着研究的不断深入，就不断会有更多的数学工具被纳入进来。在某些方面，经济学对数学的要求甚至超过了物理学，甚至毫不夸张地讲，经济学几乎沦为数学的分支。
这是在学习阶段。而在研究阶段，就需要有更扎实的数学功底了。在顶级的经济学杂志上，比如国内的《经济研究》，一篇文章里如果没有几个数学公式，那么它是很难被发表的。
当然经济学家们自己也注意到了这种现象，经济学研究被数学绑架，经济学内部也开始进行反思。其中影响比较大的来自内生增长模型的创始人，斯坦福大学经济学教授保罗·罗默(Paul M.Romer)，他于2015年撰写了著名的论文《经济增长理论领域的数学滥用》。
保罗·罗默指出，其所谓的“数学滥用”(mathiness)是指数学并非用于阐明问题，而是作为说服或误导的手段，这种趋势会阻碍我们深入理解推动经济增长的因素与投入。“数学滥用”已使得我们难以解答一些问题，比如一个想法的价值何在？或者，当大批人使用手机等同类产品产生所谓的“规模效应”时，如何用数学方法模拟这一效应？
当然，关于这篇文章更深入的讨论属于题外话了，本文就不再赘述。
按照学校来看
虽然有着比较统一的教学大纲和课程设置，但是即使同一门课，不同档次的学校所讲述的内容难度差异也非常大。
这不光是经济学，几乎所有的专业都存在有这个问题，这越是偏理论的专业，这个问题就越明显。
顶尖的学校会学得非常难，非常深入，有时间会很提前。而相对较差的大学课程内容则相对简单，而且也不会学那么深。
根据教育部第四轮本科专业评估结果，中国经济学专业最好的大学是中国人民大学，它在理论经济学与应用经济学两个专业都是最高档。除此之外，经济学比较强的还有北京大学，复旦大学，南开大学等等。
我现在只是来谈一谈这些学校中经济学专业所学的数学内容。
笔者对中国人民大学相对比较熟悉，人大经济学专业的学生有一部分在大一是要跟数学专业一起上课的，学习的是第一档数学，也就是数学分析和高等代数。而另外一个经济学方向——金融学，还要学习实变函数这门非常艰深的数学专业课程。
北大的经济学专业即使是对数学要求低的，也要学到第二档的数学，即《高等数学》，并且北大高等数学课程的难度，几乎赶的上第一档数学分析了。并且大名鼎鼎的北大光华管理学院，其数学课程的难度，甚至超过了一般大学的数学系专业课程。
国外大学也是如此，一些经济学顶尖的高校，比如普林斯顿大学，芝加哥大学，哈佛大学等等，也会学习非常难的数学课程。当然他们也是属于分级制，一般分为3~4个档次，低档的数学也相对非常容易，中国任何一个相关专业本科生都可以胜任。但是高档的数学也会学得非常专业与深入。
笔者曾有学生在芝加哥大学学习经济学。芝加哥大学在经济学发展中处于“开宗立派”的地位，诞生了著名的“芝加哥学派”，至今仍是全球经济学研究的中心。据学生自己讲，在大一大二就要学习Walter Rudin的《数学分析原理》(Principles of mathematical analysis)这本教材在数学界赫赫有名，以抽象与艰深而著称。而他们大二还要学习难度相当于研究生课程的动态最优化理论，涉及到我上面提到的佩尔曼方程，这也是一门非常专业的数学课程了。
实例
数学在经济学研究中的重要性，我只需要只说一个最明显的事实就可以了：诺贝尔经济学奖的获得者很多都是数学专业出身。比如上文提到的保罗·罗默，他是2018年诺贝尔经济学奖的获得者，但是他本科期间在芝加哥大学学的则是数学和物理。
再比如法国经济学大师让·梯若尔（Jean Tirole），他因对寡头垄断现象的研究获得2014年诺贝尔经济学奖，而他则是巴黎第九大学的应用数学博士。
而最著名的当属1994年诺贝尔经济学奖的获得者——约翰·纳什(John Nash，1928—2015)，约翰·纳什可谓是一位“纯粹的”数学家，他不仅出身于数学专业，而且还在数学系任教，他曾在麻省理工学院当过助教，之后到普林斯顿大学数学系担任教授，主要研究博弈论，微分几何和偏微分方程。他在非合作博弈的均衡分析理论方面做出了开创性贡献，提出了著名的“纳什均衡”(Nash equilibrium)理论，从而获得诺贝尔奖。
他的传奇一生还被拍成了电影，就是深受大家喜爱的《美丽心灵》，该电影还获得了第74届奥斯卡最佳影片奖。
结语
综合来看，一般偏应用的经济学对数学的要求大多数人都还可以接受。但是理论经济学或者经济学研究对数学的要求就非常高了，而且越往上学对数学的要求就越高。
笔者尽管出身于数学专业，但是在阅读很多经济学文献时，常常感到自己的数学知识不够用。在进行经济学论文写作时，也常常陷入很多数学困境中无法解决。
因此我对选择报考专业的学子们的建议就是，一定要想清楚自己将来要干什么，以及对自己的能力有充分且清醒的认识。
当然，如果你有很好的数学天赋的话，那么选择经济学，绝对是如鱼得水，如虎添翼。那么如果你有学习经济学的意愿，就不要再犹豫了。